quinta-feira, 3 de novembro de 2011

Biografia de Leonhard Euler

emblemauabUNEB – Universidade do Estado da Bahia
NEAD – Núcleo de Educação à Distância
CURSO: Licenciatura em Matemática a Distância
DISCIPLINA: História da Matemática        GRUPO: G-9
PROFESSOR FORMADOR: Rosemeire de Fátima Batistela
            COMPONENTES: Paula Verônica da Silva Lima
                              Mirella das Virgens Santana Bastos
                              Marlo Benedito Santos











Leonhard Paul Euler
BIOGRAFIA











Ipiaú – BA
Novembro 2011
Leonhard Paul Euler






Trabalho apresentado à  Rosimeire de Fátima Batistela, professora orientadora da disciplina “História da Matemática”, no curso de  graduação em Matemática,  quinto semestre, campus UNEB, Ipiaú, para fins informativos e avaliativos.












Ipiaú – BA
Novembro 2011
Nascido em 15 de abril de 1707 em Basileia,  Suíça Leonhard Paul Euler, filho de Paul Euler (lê-se “Óilã”) pastor calvinista e Margaret Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena. Foi um dos matemáticos mais brilhantes da história.
Ainda bem pequeno, com 1 ano de idade mudou-se para Riehen, onde foi criado. Paul Euler, seu pais o introduziu nos primeiros estudos de matemática.
Na adolescência, retornou para Basileia para estudar, foi viver com sua avó materna, seu pai pretendia prepará-lo para o curso de teologia na Universidade, por isso desprezava seu prodigioso talento matemático. Determinando que ele seguisse a carreira religiosa.
Não aprendeu matemática na escola, seu interesse foi despertado nas lições de seu pai, isso o levou a estudar alguns textos diversos sozinho, e a tomar lições particulares. Embora muito religioso, não se entusiasmou com o estudo de teologia.
Ainda na adolescência seu pai foi convencido por Daniel, Nikolaus e Johann Bernoulli – seu professor – a permitir que Euler trocasse o hábito pelos números. Euler ainda estudava teologia, grego e hebreu, por vontade de seu pai. Aos 14 anos matriculou-se na Universidade de Basileia, em 1723 recebeu o grau de Mestre em Filosofia, sua dissertação comparava Descartes com Newton. Nesta época recebia aulas aos sábados à tarde de Johann Bernoulli, este percebeu seu talento precoce para a matemática.
Possuía uma cultura vastíssima, pois estudou alem de matemática, teologia, medicina, astronomia, física e línguas orientais.
Quando terminou o curso em 1726 não foi selecionado para a cadeira de física da Universidade de Basileia, onde estudou. Foi convidado para assumir a cadeira de um professor falecido da Academia de Ciência de St. Petersbur em 1727, mudando-se para a Rússia.
Serviu na marinha russa de 1727 a 1730 como médico-tenente. Se tornou professor de Física em 1730 na Academia e de Matemática em 1733, mesmo ano em que se casou e deixou a casa de Bernoulli.
Após a publicação de muitos artigos e seu celebre livro Mechanica (1736-37), sua reputação cresceu. Neste livro Euler apresentou extensivamente pela primeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise Matemática. Foi também nesta época, por volta de 1735 que seus problemas de saúde começaram. Euler era constantemente atormentado por fortes crises febris, e desenvolveu catarata, foi submetido a uma cirurgia que lhe tirou a visão de um olho em 1738. Mas se sua saúde estava abalada, sua reputação, ao contrário, se firmava cada vez mais, recebeu dois prêmios da Academia de Paris, em 1738 e 1740, estes lhe propiciaram uma oferta de trabalho em Berlim. Euler recusou a oferta e preferiu permanecer em  São Petersburgo. Nesta época havia uma grande turbulência política na Rússia e ficou difícil a vidas dos estrangeiros por lá, o que o levou a reconsiderar o convite, pois jovem monarca Frederico achava que o seu dever era encorajar os matemáticos mas,  preferia a companhia de filósofos como Voltair (1694-1778) à de Euler, a quem chamava, cruelmente,"ciclope matemático" tornando as relações na corte pouco agradáveis.
 Ao saber que outro cargo, o de presidente, tinha sido oferecido ao matemático d'Alembert (1717-1783), com quem tinha tido algumas divergências sobre questões cientificas, Euler ficou bastante perturbado. Apesar de d'Alembert não ter aceitado o cargo, Frederico continuou a implicar com Euler, que farto de tal situação, aceitou o convite feito por Catarina, a Grande (Catarina II) de voltar para a Academia de São Petersburgo. Retornou à Rússia em 1766.
Chegou à Alemanha como diretor de matemática da recém-fundada Academia de Berlim, que tinha então como presidente Maupertius. As contribuições de Euler para a Academia foram notáveis.
Euler ganhou doze vezes o prêmio anual da Academia de Paris. Porém em sua primeira participação ficou em segundo lugar, incorporou a competição premiada da Academia, o problema do ano era encontrar a melhor maneira de se colocar o mastro num navio. Perdeu para Pierre Bouquer, conhecido mais tarde como o pai da arquitetura naval.
Existem em física e matemática um número grande de tópicos em honra a Euler, muitos destes incluem a equação, sua função própria, identidade, fórmula, número e identidade, ou outra entidade matemática. Algumas destas receberam nomes ambíguos, como a equação de Euler, a função de Euler e a fórmula de Euler. Seu trabalho envolve tantas áreas que muitas vezes a escrita mais antiga sobre alguma questão foi feita por ele. Sua assinatura aparece em diversos textos:



Euler passou 25 anos em Berlim, durante este período escreveu, cerca de 380 artigos, livros sobre Cálculo de variações e órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística, construção naval e navegação, sobre o movimento da Lua, cálculo diferencial e uma obra científica para leigos: Letters to a Princess of Germany(Cartas a uma Princesa da Alemanha, 3 vols. 1768-72).  
Euler passou a maior parte de sua vida em na Rússia em São Petersburgo e na capital da Prússia Berlim. Nesta época era pouco interessante para as universidades a pesquisa científica. Era comum nesta época, vários reis europeus estabeleciam reais academias onde os cientistas podias se comunicar e trabalhar. Há evidências de que havia até competição quanto a quem pegaria os melhores estudiosos.
            Transformou o cálculo em um poderoso instrumento e o aplicou a toda espécie de problemas complicados, na matemática pura e na física. Explica tudo isso em livros-texto, por exemplo, em seu texto pré-cálculo, enfatizava a idéia de função. Ainda hoje, muitas das notações e convenções que usamos foram introduzidas por Euler.
            Euler redescobriu e colocou em ordem a teoria dos números de Fermat. Investigou a álgebra e os polinômios chegando perto de demonstrar o Teorema Fundamental da Álgebra. Estudando a teoria do triângulo, descobriu um teorema básico sobre poliedros sólidos, estudou também a geometria das curvas e superfícies. O que lhe permitiu a aplicar a matemática ao planejamento de navios e turbinas assim como outros problemas de engenharia.
Seus estudos lhe propiciaram a considerar loterias e resolveu o enigma sobre caminhar por um conjunto de sete pontes sem passar duas vezes pela mesma. Quando a matemática estava disponível para estudar algo, ele a usava. Se não estava, ele a criava.
Sua obra consta de mais de 80 volumes impressos, entre livros, artigos e textos sobre assuntos diversos.
Sua influência foi enorme, ele foi o primeiro a sugerir que era melhor considerar como funções do ângulo o seno e o cosseno e defini-los em termos do círculo unitário. Também foi o pioneiro a expressar a lei do movimento de Newton em sua forma moderna. Popularizou o uso π do para razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, e inventou e como nome do número que é a base dos logaritmos naturais. Em toda a matemática encontramos ideais que têm o seu nome.
Euler abordou os números negativos descrevendo como eles deveriam se comportar aritmeticamente em relação ao comportamento conhecido e aceito dos números positivos. Parecia confortável lidar com quantidades negativas, fez muitas suposições pois em Elements of Algebrs, publicado em 1770, ele diz:
Como os números negativos podem ser considerados como débitos, já que os números positivos representam posses reais, podemos dizer que os números negativos são menos do que nada. Assim,, quando um homem não tem nada seu e deve 50 coroas, é certo que ele tem 50 coroas menos do que nada; pois se qualquer um lhe desse um presente de 50 coroas para pagar o seu débito, ele estaria ainda no ponto nada, embora estivesse realmente mais rico do que antes.

Porém, quando teve de explicar por que o produto de dois números naturais negativos é positivo, abandonou a interpretação de números negativos como débito e argumentou de uma maneira formal dizendo que – a vexes – b deveria ser o oposto de a vezes – b.
Em, 1771, velho e doente, Euler teve sua casa destruída num incêndio. Tudo o que ele salvou foram seus manuscritos. Foi nesta época que ele ficou totalmente cego. O impressionante é que mesmo depois disso ele continuou com seus projetos, e quase a metade de toda a sua produção científica foi concluída após ficar cego, alguns dizem que ele se aprimorou depois de perder a visão. Evidentemente, Euler não efetuou todas essas conquistas sozinho. Ele contou com a ajuda valorosa de dois de seus filhos, Johann Albrecht Euler, que seguia os passos do pai, e Christoph Euler, que estava na carreira militar, e também dois membros da Academia, A. J. Lexell e o jovem matemático N. Fuss, esposo de sua neta. 
Euler morreu em 18 de setembro de 1783. 
Foi homenageado com representações na sexta série das notas do banco Suíço e em diversos selos da Suíça, Alemanha e da Rússia.
Euler

Perfil Marcante

Deve-se a Euller a maioria das notações matemáticas (simbologia, terminologia e idéias) em uso nas universidades nos dias de hoje, com por exemplo, p , S , i, e e f(x), a base dos logaritmos naturais ou neperianos e  a, b, e c para os lados de um triângulo e A, B e C para seus ângulos. Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a “Introdução à Análise Infinita”, baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas-inversas e exponenciais). 
No campo da Física, na área da hidráulica desenvolveu estudos sobre pressões em escoamento de fluidos, introduziu o conceito de cavitação e princípios sobre máquinas centrífugas, também formulou a equação básica de movimento do teorema de Daniel Bernoulli, sendo assim, o autor do conjunto de variáveis, as variáveis de Euler, que servem para definir em cada ponto de um escoamento, em cada instante, um vetor velocidade. Euler, ainda foi autor de várias publicações nesta área, como os trabalhos sobre turbo-máquinas (1751-1754), básicos para a compreensão do funcionamento das máquinas de reação e que foram fundamentais no século XIX, para os estudos das rodas Poncelet e sobre turbinas propriamente ditas.
Muitas histórias são contadas referentes à sua vida e personalidade. Existe, por exemplo, uma anedota sobre Euler e Diderot, quando este estava em São Petersburgo influenciando a corte russa com seu ateísmo, e Euler foi chamado a intervir. Euler teria uma prova matemática da existência de Deus, e teria dito "Monsieur, donc Dieu existe. Respondez!". Diderot não teria conseguido responder, e retirou-se humilhado sob os risos da corte.
Apesar de ter morrido cego, sua mente permaneceu poderosa, afirmando que para fazer matemática era preciso apenas ter espírito, vontade e perseverança. Quando estava nos últimos segundos de sua vida, aos 76 anos, agonizando no leito da morte, disse: "Estranho, não estou enxergando Matemática".

Fórmulas e Teoremas:
As funções e fórmulas de Euler são muito comuns na matemática. Duas das mais famosas são:
eix = cos(x) + i sin(x) (quando  x = ¼  nós temos   ei¼ - 1 = 0 ), e
V - A + F = 2 para qualquer poliedro simples com Vértices, A arestas e F faces
            A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler , é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa ,que mostra uma relação profunda entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:
                         eix = cos x + i sin x



em que :
é um número real
e é a base do logaritmo natural
i é a unidade imaginária
sen e cos são funções trigonométricas.
A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma em que ln é o logaritmo natural.

O Número de Euler:
formula que gera o numero de euler
O chamado: "número de Euler" permite várias simplificações no cálculo integral e logarítmico. Ele é o único número cuja derivada em x de ex resulta em ex.
O número "e" pode ser calculado pela seguinte série infinita:
e2.gif (1131 bytes)
E o resultado será mais ou menos esse:
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966
96762772407663035354759457138217852516642742746639193200305
99218174135966290435729003342952605956307381323286279434907
63233829880753195251019011573834187930702154089149934884167
50924476146066808226480016847741185374234544243710753907774
49920695517027618386062613313845830007520449338265602976067
37113200709328709127443747047230696977209310141692836819025
51510865746377211125238978442505695369677078544996996794686
44549059879316368892300987931277361782154249992295763514822
08269895193668033182528869398496465105820939239829488793320
36250944311730123819706841614039701983767932068328237646480
42953118023287825098194558153017567173613320698112509961818
81593041690351598888519345807273866738589422879228499892086
80582574927961048419844436346324496848756023362482704197862
32090021609902353043699418491463140934317381436405462531520
96183690888707016768396424378140592714563549061303107208510
38375051011574770417189861068739696552126715468895703503540
21234078498193343210681701210056278802351930332247450158539
04730419957777093503660416997329725088687696640355570716226
84471625607988265178713419512466520103059212366771943252786
75398558944896970964097545918569563802363701621120477427228
36489613422516445078182442352948636372141740238893441247963
57437026375529444833799801612549227850925778256209262264832
62779333865664816277251640191059004916449982893150566047258
02778631864155195653244258698294695930801915298721172556347
54639644791014590409058629849679128740687050489585867174798
54667757573205681288459205413340539220001137863009455606881
66740016984205580403363795376452030402432256613527836951177
88386387443966253224985065499588623428189970773327617178392
80349465014345588970719425863987727547109629537415211151368
35062752602326484728703920764310059584116612054529703023647
25492966693811513732275364509888903136020572481765851180630
36442812314965507047510254465011727211555194866850800368532
28183152196003735625279449515828418829478761085263981395599
00673764829224437528718462457803619298197139914756448826260
39033814418232625150974827987779964373089970388867782271383
60577297882412561190717663946507063304527954661855096666185
664709711344474016070462621568071748...
(caso alguém um dia precise!)

O Número Phi:
Euler também (re)descobriu o número Phi, presente na série de Fibonacci. A série de Fibonacci é aquela na qual o número seguinte é igual à soma dos dois anteriores, resultando em uma série com o seguinte aspecto:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (1 = 0+1, 2 = 1+1, 3 = 2+1, 5 = 3+2, 8 = 3+5, etc.)
Se você pegar a razão entre os números consecutivos, dividindo um pelo outro, você terá uma sequência com o seguinte padrão:
1, 2, 1.5, 1.66..., 1.6, 1.625, 1.61538...
Estes números parecem estar convergindo por oscilação. Convergindo para o que? Para Phi, chamado: "a razão dourada".
formula de phi
Este número é considerado a constante mais significativa do Universo. Está presente nas razões do corpo humano, nas ondulações da água em um lago, e por toda a natureza. Phi é o único número que elevado ao quadrado resulta em ele mesmo mais um, e cuja raiz quadrada resulta nele mesmo menos um. Phi pode ser derivado por: (1+raiz quadrada(5))/2
Pode-se observar o número Phi e a série de Fibonacci no diagrama abaixo, no qual um retângulo dourado (de lados 1 e Phi) é dividido em vários outros retângulos dourados menores, criando o padrão para uma espiral logarítmica conforme a figura mostra, um desenho encontrado repetidas vezes na natureza:
espiral logarítmica
O número Phi com mais casas decimais do que alguém jamais irá usar:
1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135
44862270526046281890244970720720418939113748475408807538689
17521266338622235369317931800607667263544333890865959395829
05638322661319928290267880675208766892501711696207032221043
21626954862629631361443814975870122034080588795445474924618
56953648644492410443207713449470495658467885098743394422125
44877066478091588460749988712400765217057517978834166256249
40758906970400028121042762177111777805315317141011704666599
14669798731761356006708748071013179523689427521948435305678
30022878569978297783478458782289110976250030269615617002504
64338243776486102838312683303724292675263116533924731671112
11588186385133162038400522216579128667529465490681131715993
43235973494985090409476213222981017261070596116456299098162
90555208524790352406020172799747175342777592778625619432082
75051312181562855122248093947123414517022373580577278616008
68838295230459264787801788992199027077690389532196819861514
37803149974110692608867429622675756052317277752035361393621
07673893764556060605921658946675955190040055590895022953094
23124823552122124154440064703405657347976639723949499465845
78873039623090375033993856210242369025138680414577995698122
44574717803417312645322041639723213404444948730231541767689
37521030687378803441700939544096279558986787232095124268935
57309704509595684401755519881921802064052905518934947592600
73485228210108819464454422231889131929468962200230144377026
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(...)



















Contribuição da atividade “Biografia” para a nossa formação como professores
            O estudo da biografia dos matemáticos, assim colocados para esta pesquisa, foi de grande valia para o conhecimento mais aprofundado da matemática. O que nos levou a uma reflexão quanto a prática docente e a utilização da história da matemática.
            Propor aos alunos o conhecimento, não apenas da história da matemática, mas sim, dos matemáticos, para que estes possam ter uma maior compreensão de que foram as pessoas que criaram os conceitos matemáticos que eles e nós estudamos hoje, assim como o quanto era complexo, e como hoje esses mesmo cálculos estão sucintos e ao alcance de todos.
            A pesquisa nos proporcionou também, perceber que as origens de uma idéia, ou processo, algumas vezes ligam coisas e fatos aparentemente distintos, compartilham raízes históricas comuns. Desta forma o estudo destes matemáticos e seus feitos é importante para que possamos melhor compreender a matemática que estudamos atualmente.














Referências Bibliográficas

Berlinghoff, William P., Gouveia, Fernando Q.: A Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. 2ª ed. São Paulo: Blucher, 2010.
http://fisicomaluco.com/experimentos/leonhard-euler/. Acessado em 27 de outubro às 17:30h.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler . Acessado em 28 de outubro às  18:25h.

quarta-feira, 26 de outubro de 2011

Cordel

Álgebra ao longo da história da Matemática

emblemauabUNEB – Universidade do Estado da Bahia
NEAD – Núcleo de Educação à Distância
CURSO: Licenciatura em Matemática a Distância
DISCIPLINA: História da Matemática        GRUPO: G-9
PROFESSOR FORMADOR: Rosemeire de Fátima Batistela
            COMPONENTES: Paula Verônica da Silva Lima
                              Mirella das Virgens Santana Bastos
                              Marlo Benedito Santos
                              Flávia dos Santos Mosquito
                              Cleber da Silva Ramos
                              Eliel Batista dos Santos





Álgebra ao longo da história da matemática
















Ipiaú-BA
Outubro 2011

Álgebra ao longo da história da matemática








Trabalho apresentado pelos discentes mencionados anteriormente, à professora Rosimeire de Fátima, orientadora da disciplina “História da Matemática”, em graduação Matemática do quinto semestre, campus UNEB, Ipiaú, para fins informativos e avaliativos.










Ipiaú-BA
Outubro 2011
1. HISTÓRIA DA ÁLGEBRA


A origem da palavra "álgebra" é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com freqüência citado, abreviadamente, como Al-jabr.
Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:
x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3

al-jabr fornece
x2
 + 7x + 4 = 4 + 5x3

e
 al-muqabalah fornece
x2
 + 7x = 5x3
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:

(1) Álgebra antiga (elementar)
 é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata)
 é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.

Equações algébricas e notação
A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1]
 Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.
 [2] [Dado] 32 soma; 252 área.
x+y=k
xy=P     } ... (A)
[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.

[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16].
k/2
16 x 16 = 256
(k/2)2
256 - 252 = 4
(k/2)2 - P = t2    } ... (B)
A raiz quadrada de 4 é 2.
raiz.jpg (2149 bytes)
16 + 2 = 18 comprimento.
(k/2) + t = x.
16 - 2 = 14 largura
(k/2) - t = y.
[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura.
18 x 14 = 252 área
((k/2)+t) ((k/2)-t)
= (k2/4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta é testada.
A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.
Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.
Então o produto
xy =  ((k/2) + t) ((k/2) - t)  =  (k/2)2 - t2   =  P
levava-os à relação (B):
(k/2)2 - P =  t2
Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.
Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.

Álgebra no Egito
A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.

Álgebra geométrica grega
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém.[Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.]
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

Figura1.jpg (4336 bytes)

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo[que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Figura2.jpg (11574 bytes)

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:
Bissecte AB em M:
k/2
Construa o quadrado MBCD:
(k/2)2
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:
t2 = (k/2)2 - P
Então é claro que
y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.
Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.
De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.



Álgebra na Europa
A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.
A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:
  1. facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;
  2. invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;
  3. ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.
Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.
Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart









2.  DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS DE ÁLGEBRA NO CURRÍCULO


            No Ensino Fundamental os conteúdos de Álgebra são:
Equações;
Inequações
Equações com duas incógnitas;
Proporcionalidade;
Polinômios;
Produtos notáveis;
Fatoração de polinômios;
Equações e sistemas;
Introdução às funções;
Equações do 2º grau;
Funções.
No Ensino Médio alguns dos conteúdos abordados são:
Função quadrática;
Função exponencial;
Logaritmo;
Matrizes;
Trigonometria.

Dentre os livros pesquisados pode ser citado o livro Projeto Araribá trás muitas atividades envolvendo exemplos numéricos, algébricos e geométricos. Utiliza geometria nos exemplos, nos exercícios e nas demonstrações dos produtos notáveis. Mas apresenta conteúdos diferentes intercalados, como por exemplo: no desenvolvimento de certo assunto da álgebra depois dos exercícios em vez de dar continuidade em relação à álgebra ele aborda o estudo de análise combinatória ou probabilidade, por exemplo, e depois volta para a álgebra.



3.  PANORAMA DA SITUAÇÃO ATUAL DO ENSINO DE ÁLGEBRA

Na segunda metade da década de setenta, o movimento da matemática moderna entrou em declínio em todo o mundo e aparecem críticas aos pressupostos desse movimento e tentativas de correções dos excessos cometidos. D’Ambrósio (1997) afirmou que os movimentos daquela época começaram a dar maior ênfase a uma aprendizagem mais participativa, com uma percepção da importância de atividades para os alunos.
Devido à grande ênfase dada à álgebra pelo movimento da matemática moderna, os conteúdos geométricos deixaram de ser vistos como potencialmente ricos e perderam seu lugar no currículo. O ensino de geometria foi abandonado e quase excluído do currículo. A superação desse abandono passou a ser a grande preocupação após esse período. Muito se falava do ensino da geometria e pouco se falava do ensino da álgebra. Além disso alguns estudos citaram, como exemplo, a Proposta Curricular de Matemática para o ensino do 1º grau do Estado de São Paulo, datada de 1988, que apresentava inúmeros apelos a recursos geométricos no desenvolvimento de tópicos algébricos.
Se observa que grande é a complexidade dos aspectos da introdução da álgebra na escola. Também é grande a variedade de propostas de como deve ser a introdução da álgebra na escola. Tais aspectos trazem a tona a multiplicidade de aspectos do trabalho algébrico que podem ser considerados como prioritários ou ao menos vistos como fundamentais.
No cenário atual do ensino de álgebra no Brasil é reflexo de como evoluiu a álgebra com o passar dos tempos.  Uma breve revisão do ensino desse conteúdo nas escolas faz-se necessária para contextualizar o que  ocorre nas salas de aula hoje. Muitos autores ressaltam que a álgebra atualmente é ensinada, por muitos professores, de forma mecânica e automatizada, enfatizando a memorização e a manipulação de regras. Porém, como esta forma de ensino é feita dissociada de qualquer significação, ela parece não fazer sentido para muitos alunos, perdendo o seu valor como um rico instrumento, por exemplo, para a resolução de problemas.
Atualmente há uma forte tensão entre professores e alunos. De um lado os professores que vêem na álgebra uma ferramenta matemática por excelência. Os alunos de outro lado, vêem a álgebra como fonte infinita de incompreensão e de dificuldades operacionais insuperáveis. Poucos alunos conseguem aprender. Como afirma Carmen Sessa (p. 6, 2009),
Os professores não sabem como fazer para que a turma chegue a esse ponto: seu esforço é muitas vezes refém dessa busca de destreza, e o sentido do que se aprende fica oculto para a maioria dos alunos.
Pesquisas têm comprovado que as dificuldades dos alunos não se restringem apenas à solução de problemas, mas, também, ao processamento algébrico. Além disso, mostram que erros e dificuldades apresentados por alunos na aprendizagem de Álgebra Elementar no Ensino Fundamental persistem no Ensino Médio e, sucessivamente, no Ensino Superior.
Muitos dos erros e das dificuldades apresentadas estão relacionados à formação do pensamento algébrico. Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental destacam que, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra. O enfoque a partir da observação, da regularidade de ocorrência dos fenômenos e de generalizações ainda não faz parte do ensino da álgebra. Este deve incluir a compreensão dos conceitos algébricos como variáveis, incógnitas, expressão, função, equação, construção e análise de representações de situações.
O grande desafio para os professores é envolver os alunos nos desafios da aprendizagem.









4.  FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA UTILIZAÇÃO DA UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO


A história é uma fonte de informação para o ensino aprendizagem da matemática. Um grande número de matemáticos utilizam a motivação para recorrerem a história no processo ensino aprendizagem da matemática. Eles afirmam que o conhecimento histórico desperta o interesse do aluno pelo conteúdo que está sendo ensinado. Pois saber de onde surgiu o conteúdo aprendido na escola faz com o aluno se sinta parte do processo, e veja a matemática com utilidade para sua vida.
Segundo os autores Brito e Miorim (1999), a partir da aquisição de  conhecimentos históricos e filosóficos dos conceitos matemáticos, o professor tem a possibilidade de diversificar suas técnicas     pedagógicas e tornar-se mais criativo na elaboração de suas aulas, as quais podem provocar o interesse dos alunos para o estudo da matemática.
Nas décadas de 20 e 30 alguns artigos publicados até de maneira ingênua que contribui a história um poder quase mágico de modificar a atitude do aluno em relação à matemática.
A história da matemática é um dos elementos fundamentais que envolvem leitura e matemática. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática de 5° a 8° séries (1998) indicam o uso da história no ensino da matemática sendo uma forma dos alunos aprenderem os conceitos matemáticos por meio do passado e do presente, compreendendo assim a construção de diversas fórmulas na matemática. 
A abordagem da história da Matemática favorece ao aluno compreender fatores sociais, históricos e políticos despertando a vontade de descobrir seus conceitos matemáticos favorecendo o desenvolvimento de sua própria história matemática, onde o aprendizado terá outro significado.
Deste modo verificamos a importância do uso da história no ensino da matemática, pois segundo Freire (1996) explica que formar é muito mais que realizar a prática da educação bancária que apenas treina o educando, mas é acima de tudo buscar novas metodologias de ensino para que a sala de aula de matemática torne-se um local de investigação, produção de conhecimentos e de experiências. 
 D’Ambrosio (1999) argumenta  que uma abordagem adequada para incorporar a história da matemática na prática pedagógica deve enfatizar os aspectos socio econômicos, políticos  e culturais que propiciaram a criação matemática. Contudo,  caso o professor não tenha um conhecimento mais profundo da história da matemática,   utilizar-se  de informações históricas como curiosidades, e  com isso motivar seus alunos.
Sendo assim, o uso da história da matemática é fundamental para as práticas pedagógicas na sala de aula de matemática, pelo fato de o sentido dos fatos matemáticos estarem presentes na realidade dos alunos.


















5.  REVISÃO DA LITERATURA DE PROPOSTAS JÁ EXISTENTES A RESPEITO DA UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DA ÁLGEBRA

A Álgebra estabelece uma forma particular de organização do pensamento de cada indivíduo no contexto ensino aprendizagem. Com isso a sua abordagem histórica da edificação do conhecimento matemático, em particular, do conhecimento algébrico, pode colaborar para uma formação mais ampla do aluno e para a re-elaboração de conceitos referentes à abstração e generalização. Atualmente, a álgebra compreende um campo de estudo muito extenso com suas mais variadas ramificações, resolvendo problemas do mundo físico e social e está presente nos cálculos e nas previsões das empresas e indústrias,  dos economistas, analistas políticos, órgãos do governo, etc.
Na forma lógica a Álgebra possibilita uma descoberta de quantidades desconhecidas a partir de outras conhecidas, observamos que tais problemas são encontrados em civilizações de povos antigos mostrando a presença de uma Álgebra sem símbolos.
Assim, os conhecimentos históricos colaboram com a compreensão do desenvolvimento histórico dos conceitos os quais influenciam positivamente nas práticas pedagógicas. De acordo com Brito e Miguel (1996), a história da matemática na formação do professor pode oferecer inteligência “da natureza da matemática, dos processos de abstração, de generalização e de demonstração, das dimensões estética e ético-política da atividade matemática”.
Struik (1985), assim como D’Ambrosio (1999), consideram que a história da matemática ajuda a entender a herança cultural, aumenta o interesse dos alunos pela matéria, possibilita a compreensão das tendências em Educação Matemática podendo servir tanto ao ensino quanto à pesquisa.
Nobre (1996) destaca a necessidade de o professor observar que a forma acabada na qual hoje se encontra o conceito matemático esconde modificações sofridas ao longo de sua história e que isso deve ser levado em conta na elaboração de atividades para aprendizagem, já que a forma como um assunto é tratado influencia a sua compreensão.
De acordo com Bicudo (1999) o estudo da história das aplicações da matemática e dos seus usos nos mais diversos campos da sociedade pode ser de grande alcance tanto para a concepção dos currículos como para dar suporte à prática do professor na sua sala de aula.
Diante deste panorama, muitos autores ressaltam a importância da utilização da história da matemática no processo ensino aprendizagem. Ainda ressaltam, os argumentos a favor do uso didático da história da matemática, segundo Tzanakis e Arcavi; Miguel e Miorim (2004, apud Baroni, 2007). Em contrapartida, apresentam alguns impedimentos ao uso didático da História da Matemática, pois é preciso que o professor tenha em mente qual a finalidade didática para a utilização de tal recurso didático. É preciso que os alunos possam utilizar estas informações como motivadoras, para isso os objetivos didáticos e pedagógicos precisam ser claros.
Observando e revendo o ensino da Álgebra nas escolas, percebe-se a necessidade de contextualização para melhor entender o que ainda ocorre nas salas de aula. Muitos autores ressaltam que a álgebra atualmente é ensinada, pela maioria dos professores, de forma mecânica, realçando a memorização e a manipulação de regras. Porém, como esta forma de ensino é feita dissociada de qualquer significação, ela parece não fazer sentido para muitos alunos, perdendo o seu valor como um rico instrumento.
Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental destacam que, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra.
A importância das reflexões desenvolvidas, objetiva conscientizar a todos sobre a importância de buscar novos métodos de ensino que propiciem aos alunos uma aprendizagem mais significativa da Álgebra por haver uma surpreendente articulação da Álgebra com a tecnologia: Álgebra e máquinas, Álgebra e computação, etc.
Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) ressaltaram o fato de que a álgebra pós matemática moderna, parece retomar seu papel, anteriormente ocupado, que era o de um estudo com a finalidade de resolver equações e problemas. Para isso tentou-se recuperar seu valor instrumental, mantendo seu caráter fundamentalista. Os autores ressaltaram ainda que a álgebra, apesar de fazer parte de boa parte dos livros didáticos atuais, não tem recebido a devida atenção nos debates, estudos e reflexões a respeito do ensino da matemática. Comentaram, ainda, sobre o ensino atual da álgebra, que:
 “(…) a maioria dos professores ainda trabalha a Álgebra de forma  mecânica e automatizada, dissociada de qualquer significação social e lógica, enfatizando simplesmente a memorização e a manipulação de regras, macetes, símbolos e expressões” (p. 40).
Fica evidente que o ensino da Álgebra na escolas ainda precisa ser revisto. É necessário que o professor conheça seus objetivos didáticos, e mude sua forma de abordas as operações algébricas para que a mediação da aprendizagem sem o caráter mecânico aconteça. Vale ressaltar que é preciso analisar e selecionar os problemas que os livros didáticos trazem, assim como todo material de apoio.
É necessário selecionar problemas em função da riqueza das questões didático-algébricas que permitem captar. Mas é preciso ter em mente que a escolha de tais problemas para a iniciação ao estudo da Álgebra implica assumir de antemão a complexidade deste campo de ensino. Desta forma o professor precisa dominar estes objetivos e utilizar a história da matemática como reforçador de sentido.
Através da história da matemática a é possível encontrar novos objetivos, novos objetos de estudo, novos problemas, e produzir novas técnicas, a serem incorporadas de maneira sistêmica. Este tipo de trabalho entusiasma os alunos e os engaja ativamente nas atividades propostas.
Demonstraremos a seguir uma proposta de atividade que traz um novo olhar sobre a interpretação de texto como reforçador dos objetivos didáticos nela proposta. Pois os alunos poderão associar uma leitura prazerosa ao conhecimento algébrico necessário para a resolução dos problemas propostos.



6.  
Eu sou Cronos. Tenho o poder de viajar pelo espaço e pelo tempo.
Nesta minha existência vivi muitas histórias, algumas fantásticas, cheia de aventuras.
A história que vou lhes contar aqui é uma delas.
Acho que poderia chamá-la de
A MISSÃO.

 
PROPOSTA DE ENSINO





Este texto pode ser utilizado para motivar e reforçar, principalmente o estudo das Equações do 2º grau. Além disso propõe desafios curiosos e interessantes.
  1. Leitura em duas etapas:
a)    Promover a leitura inicial de todo o texto, sem se preocupar com a resolução das atividades, para que o aluno consiga ter uma visão geral da história.

  1. Leitura do texto com interferências do professor:
a)    Promover a leitura do texto em partes, questionando a compreensão dos alunos sobre o parágrafo lido. 
b)    Solicitar ao aluno que resolva as questões à medida que for terminando a leitura dos parágrafos.
c)    Propor aos alunos uma produção textual, sobre a experiência vivenciada por eles com a utilização de um conto na abordagem de um conteúdo matemático.






DESAFIO
1.
2.
3.



4.















Referências Bibliográficas

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC /SEF, 1998.148 p;
CESSA, Carmem. Iniciação ao estudo da álgebra: origens e perspectivas. Tradução Damian Kraus. São Paulo: Edições SM, 2009.
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